我的直觉告诉我，无理数有某种无穷的性质，奈何我最近才想明白。
不借助任何工具，仅凭眼睛（也就是人之理性固有的能力）能辨别不同的东西（这话有些同义反复，因不能辨别之物便视之同），一串离散的东西，用记忆编号，就是整数的来源（准确说是序数的来源，而基数总是序数已知后的结论）（算术能力）
反过来，给定一串离散的数点，人眼可以找到某数相对应的那个点。找的过程，正是数的过程。
我们知道，整数环对于加、减、乘封闭，而这三种运算，无非是数数的延伸。数系的扩充，其实就是人“找”数能力的增加（当然，在一个东西存在性尚未确定之前，用找这个字似乎不大妥当）
假设我们先验的画出一条直线（这是理性的另一种能力，几何能力）把刚才的那一串离散的点嵌上去。注意，我们等距的嵌上去，这其实是一个新的观念，它既不存在于直线中，也不存在于散点集合里。这种操作，我们可以借助圆规实现（记录固定长度，圆规的刚体运动保持这种长度）。
现在，这些散点已经嵌入直线了。沿用刚才的标号，我们是否还能找回它们呢？仅凭肉眼不能，因为它们嵌入直线，如同水滴入大海，没有一丝一毫的间隙能使我们分开它们（当然哪怕有也不够）用数学的话来说，眼睛的分辨只在离散拓扑下起作用。
此时，拓扑的意义就很重要了，眼睛所以区分两个不同东西，取决于将它们分开的那两个集合，也就是点的分离程度，或日拓扑的粗细。在直线上，区分两个点靠的就是实数公理下的（我们眼睛的延伸）拓扑分辨力。
回到刚才找数的问题上，其实直线上的每个点都是相同的，没什么特别。因而区分是相对的，找数也是相对的。约定一个参考点
显然，借助圆规可以再次将整数找到，只不过这次，这些点不再是那种离散形态的东西了。
按照求方程根的方法，构造出有理数与代数数。到此为止，代数的努力也达极限。剩下的东西全靠几何：靠极限定义无理数，本身就是在用直线定义直线。可以说，在人们能想象出直线时，无理数就存在了，剩下的就是如何称呼它们、区分它们。十进小数的发明就是出于这种淳朴的想法。
十进小数，无非就是借助极限公理，尽力用代数方法刻画这个几何上的东西。借助它，我们更好的认清了无理数无法被纯代数化的性质，因为它总不可避免地牵涉到无穷（数一个无理数的小数表示就如同数无穷大一样荒谬）。因而十进小数本身蕴含着矛盾，这种矛盾迫使我们要用更新的观点看待它，用更新的手段驾驭它，而这一步跨越，正如同从眼睛到圆规的跨越。
最后的问题是，直线上的每个点都找到归宿了吗？或者说，我们从整数点出发，搭建代数的脚手架，再借助一点分析的工具，能否将整条直线装潢一新？我们现在已经知道了我们的施工范围，问题在于我们的设计图纸上是什么要求？如果我们的要求是最大的线性序域的话，那么答案是肯定的。