原先设想系统地陈述我的符号学观点，现在看来不大可能。至少在符号学这方面，没有专门的学习过而只是凭我在学习数学过程中的感觉来写，只能以零散的札记形式记录。直至现在我头脑中关于符号的种种想法还杂乱无章，只能先写下想到的以后再作整理。

符号是一个认知范畴，符号学的主要研究内容应是符号给人的心理感觉（认知感觉）——它是如何参与认知并为认知提供便利（诱导认知）。通过这一观点，探求符号的种种形式、规律并用以指导创造符号才有本质的意义。

（本文以及未来的讨论除注明以外都仅限于数学符号，以免无谓的争执。）

1. 符号是明确的，出于人们对明确其所代指的概念的需要，并且概念在符号化后真正明晰。

   从而符号形同一种实体，具有明确的含意，界限，能为人操控，同时也易于操控。因而符号需要相当的简单，其外延可类比为数学中的一个点。

2. 如同 a, 一般指代一个常数或参数，具有明确的界限：空间上占一个字符（时间上看则近乎永恒），但无论如何它的界限是明确的，从量上看它是单数，是一个元素。

3. 有必要在最开头便提出规范性与描述性这一对认知矛盾。这二者本身是没有对错之分的。但在我看来，符号是描述性的，它本身并不构成一个有意义的世界，及符号本身不是一个实体而是一个实体的影子。

4. 意义是从关系中产生的，可以说意义就是关系。孤立的事物没有意义（当然本身也不存在）因为孤立本身具有否定的内涵，万事万物天然就有意义（在一张关系网中）

5. 可以说存在与局部是人的元认知范畴，它们是一切具有肯定意义概念的代表。整体和一切是无法用语言表述的，但并不排除它可以以其他方式认知。

6. 由上所述，单独的符号没有意义也不存在，至多是单独出现罢了。a 的出现就意味着 26 个拉丁字母表的存在，1 的出现就意味着还有其他 9 个阿拉伯数字。

7. 以上我所说的这些，必须以描述性的观点理解——任何学说的开头也必然如此，因为没有无中生有的想法，因而作为以后所有概念的基石，这些基石必须以超越语言与因果的思想方式理解。

8. 为了表达概念间的亲疏远近抑或等级关系，就要从符号中体现出来。例如与$a$平行的符号是$b,c$，但若有更多的平行概念，就采用下标——可以说这是最简单的办法了$a_0,a_1,a_2,a_3$。$a$作为主体，表显示出它们的家族相似，而下标不同则说明它们是不同个体。反过来$a_1,b_1$则暗示了不同族之间元素的某种对位。

9. 如上的下标其实已为我们引入了一个最基本的元素——关系。正如字面所显示的，关系可用蕴含关系的二者表述，只须要将二者罗列出来即可。在此我们并不去问究竟是哪种关系，只要知道是相同还是不同（差异），如果不同，就在符号上再作调整以区分即可。

10. 因为符号占有空间，而空间又能被人划分出上下左右各种相对位置，因而这为我们区分“不同”提供了文字叙述上的可能。譬如 $a^{\circ }$和$a_{\circ }$是不同的。$\overline{a}$和$\underset{―}{a}$是不同的。

    

    （上图）a 的至少八个不同位置，为了符号的紧凑，我们不去展开层层叠叠的位置（如 $a^{\prime },a^{″},a^{‴}$等），其实通过这种文字空间的变异来体现“不同”很有限，当今的数学也没有明显运用它的迹象。因为我们总是可以通过多费口舌来实现我们区分的目的。（即 9 中所说的不断添加二元关系）正如我所说的，尽管有八个方位，但我们习惯的只有阴影标出的三块区域，这再次表明这种方法只是一种技巧远非什么系统的大法。

11. 至于只有常用的三块阴影，原因就要提到我们的符号尽管不同于文字，但也尽力使它的书写符合文字的书写习惯。因为它们总是和文字一同出现（给人阅读的纯符号的文本应该还不存在——因为设计那样一套符号制度既然要与语言功能相同却又不如语言给人亲切，完全是多此一举），这就要求符号主体处于整个符号的左侧与下方（先写主体的情况下），而它的派生部分又不致和之后的行文混淆，因而留给人们的只有上方的缝隙和右侧的角落了。

12. 零散的派生的符号：

    上方：$\overline{a},\tilde{a},\hat{a},\dot{a}$

    右上和右下：$a^{\circ },a_{\ast },a_{+},a^{\prime }$（数字、字母不算在内）

13. 标点：标点的本质自然是空格，即功能在于分隔符号，你也许会问符号本身有界限（1），那分隔从何而来？这是因为我们是在将它们联结的基础上作的分隔——彰显二者的关系但又不致于被混淆成一个符号。标点本身没有意义，是一种辅助的存在——如同语言中的虚词，但它又不同于关系符号，如 $a,b$ 和 $a\perp b$ 的区别。

    数学中的标点很少，大致说来只有括号，逗号和省略号。后二者和语言中的作用一致，但括号在数学符号中的地位独特说不可或缺，它用于的标明二个以上符号关系的层次，或为构成集合服务。当大段符号以可能产生歧义的方式，排列时，括号的存在感立马体现出来。

    逗号其实是和空格最为接近的符号，只是因为空格给人的性质心理感觉是“彻底”的分离了两个黑色的符号而觉得可必要加上一个黑色的“空格替代品”来分隔两个连续的符号才引入逗号、否则以人类的懒惰才不会如此。

    省略号似乎只出现在至多可数的序列中，它的功能和数学归纳法相同。

14. （补 12）零散的符号标志和系统的符号标志

    $a^{\prime },a^{\ast },a^{+},\overline{a},\tilde{a}$强调是 a 的变体，本体与变体。

    $a_1,a_2,a_3,···,a_n,a^1,a^2,a^3,···,a^n$ 强调这是一族符号，同具有一个母概念。相互平行。

（上标不要理解为乘方，即便在多项式中，将幂次理解为上标也颇有裨益——详见多项式环存在性的构造）

15. 函数：函数乃至更广泛意义下的映射是数学的核心概念，它和关系是“同义语”，只是侧重面不同：同样是反映二个元素之间的关系，但限制了其中一个不能与另一个发生关系，这个限制来源于经验，一个雨点不能同时落在两处，一个人不能同时身处两地，一个运动只会到达一个终点，一个实体只有一个对应。因而与其视函数为自变量的因果关系，不如看成是自变量的“变化”，这种变化保持了自变量的“个体守恒”——不致于由一变多。［如果看成因果关系则会出现一因多果这样无法绕开的语言问题］

    既然函数具有这样的性质，那么符号的设计并不困难，我们既要体现变化的过程，又要体现变化的结果，但也不要忘了体现原本的事物，抓住这三条，以 $x$ 代表原本的事物，待变元，以 $f$作为变化，那么 $f(x)$ 就是变化后的量。如果我们仔细一点就会发现括号再次出现了。至此，我们要揭示括号在函数中的含义，它与作为标点的括号不同。为此我们要从多个角度看待函数。

    我们很快就不满足于从 $x$ 到 $f(x)$ 的变化，我们需要把函数推广到“一群 $x$”中去，即 $x$ 所处的集合（当然也不排除$\{x\}$的单元集），这样你也许会问 $x$ 变化是 $f(x)$，$y$的变化是 $g(y)$ 怎么办，即 $x,y$ 尽管属于同一集合，但却有不同的变化。这时需记住，只要 $f(x)=g(x),f(y)=g(y)$ 即在同一个元素上变化相同我们就可以把它们视为一致（当然最初并没有$f,g$作用在单个上面的记号，只是明确了所有$x$的变化后，才把这种变化统一用$f$代替。而不考虑实际意义上它们是否真的属于同一类变化（语义上的）。至此我们至少勾连了同一个集合上所有元素的变化，归为一种叫做$f$。（详见集合论中$f$的定义）

    我们先验的具有了$f$这个变化法则，试图去看不同的此后元素$x$在该法则下变成了何物，若把它写成$(x,y)$就难以体现$y$由$x$变化而来的感觉（二者看来是平等的）也无法看出先验的$f$的影子。而写成$fx$又难免混淆乘法写成$(f,x)$也有类似地毛病。（即$f$和$x$看来平等，而事实上这比$(x,y)$还要荒谬，毕竟$x,y$是实体，而$f$只是一种变化，二者属性都不同）因而写成$f(x)$, 首先符合右手书写习惯，括号以示与乘法的区别又作了视觉上的联系，$f$在前，$x$在后符合右手书写将先验在前的感觉。重要的是，前面的事物施加在后者上，引出$f$作用在$x$之上，将它变成了结果，这里作用的思想后面还会再提。而把结果$y$写成$f(x)$，作用的过程与作用的结果合并，节省了符号。当然也有写成$y(x)$，更是强调作用的结果。$y=f(x)$则是最为细致的版本，函数中的三个要素都得到了体现，等号则强调了结果产生于变化。至于顺序上为何是$y=f(x)$而非$f(x)=y$，仍回到前文说的前后感觉问题，前者强调$y$由$f(x)$导出，后者强调$f(x)$得出$y$。前者强调表示，而后者强调作用的计算。

    评价：各位也见到了，我举的例子十分初等，因为我的宗旨不在于分析数学，而是分析符号，特别是符号引发的心理感觉或其设计以数学为例背后的心理原因。因此，简单的符号不仅易于剖析，便于抓住要点，同时也能很好的反映符号的特征，与复杂的符号异曲同工。正所谓麻雀最小，五脏俱全。

16. 对：对是语义上更为宽泛的二元关系，它甚至不能算是我们感觉上紧密的联系，而只是两个东西的视觉上的呈现，以告知我们需要注意它们，它们只是被刻意罗列出来，而其更深的含义有待下文的进一步叙述。

    对的例子通常出现在定义中，给人的感觉是如同$A,B$这样的名字，无非多一个要提及的东西罢了。具体的例子像拓扑空间$(X,\tau )$, 群$(G,+)$, 坐标卡$(U,\varphi )$, 一个集合配上一个结构。对的含义之贫瘠也能从括号和逗号处反映出来（见微知著），因为此处它们只有标点的含义。

    当然严格说来，对也能回到它的集合论定义，但对于这种接近不言自明的概念而言，过多的解释可以出于严谨的考虑，却不能带来多少启发。于是我们略过不提。

    对可以推广为多个的情形，除它的集合论构造更加繁琐以外，直观理解并无难度。集合论中的繁琐是指把多元对看成二元对的不断组合，最后又说其实结果与组合的先后无关（符号上说即加括号的方式）因而多元对是唯一的。在我看来与其这样绕个大圈，直接承认是无伤大雅的。但是严谨的构造仍十分可贵，因为它严格遵循了“顺序”这个我们无法逃避的思维特点，我们现在能轻松地说出无伤大雅这番话也正拜这个概念无关顺序所赐。

    还需要补充的是：对中涉及的元素是无关的（弱一点说法是不显相关），譬如$(x,y)$中，$x$和$y$是无关的，即没有$y=f(x)$这种关系——除非你写成$(x,f(x))$但这也不违背我的论断，因为$(x,f(x))$可以写成$(x,y)$附带上$y=f(x)$，我想强调的是对这个符号$(\cdot ,\cdot )$并不蕴含着任何关系（即前文中说的贫瘠的关系，它仅仅代表我们同时思考这两个事物）对于$(X,\tau ),(G,+),(U,\varphi )$也是如此，对仅仅将它们聚集在一起，如果没有下文定义$\tau$是$X$上的拓扑云云，对本身不蕴含这二者的关系。

    我想以上补充的内容用来解释对的本质再恰当不过，我所强调的无关性以后提到“自由”这一点时会明显地流露出来，那时我们会看见一切归根结底都是源于我们赋予对同时也是对给予我们的“无关”的心理感觉。