信号处理中的“性数配合”

作为学数学出身的人，初学信号处理时总会遇到一些古怪的记号惯例。对于信号 $x (t)$ ，信号处理文献中（如 Oppenheim 经典的信号与系统第二版）会记其傅立叶变换为 $X (j ω)$ 。

这个记号乍看无疑是奇异搞笑的，因为 $X (j ω)$ 的定义是：

X (j ω) = \int_{R} x (t) e^{- j ω t} d t

这里姑且不提傅立叶变换还有种种不同形式，比如不同的积分限和正则常数。这些不同使初学者更难分清符号与意义的联系——哪些符号是关键的，哪些是次要的。

而这个定义中，唯一的自由变量就是 $ω$ ，那么为什么不简单直白的把符号记成 $X (ω)$ 呢？这个问题我问过好几个学信号处理的人，他们都说不上为什么。

后来我知道了，原来傅立叶变换有种推广叫拉普拉斯变换，即

X (s) = \int_{R} x (t) e^{- s t} d t

于是傅立叶变换被记成了 $s = j ω$ 处的取值，即 $X (j ω)$ 。

好吧我承认，如果在拉普拉斯的上下文中讨论傅立叶变换，这套符号是有益的。但更智障的记号随之而来，在离散信号的傅立叶变换却又被记为

X (e^{j ω}) = \sum_{n \in Z} x [n] e^{- j ω n}

我感到一阵目眩，难道连续形式和离散形式之间有什么巨大差别吗？

原来问题出在拉普拉斯变换的离散形式，即 $z$ -变换上，它定义为：

X (z) = \sum_{n \in Z} x [n] z^{- n}

于是离散傅立叶变换被记成了 $z = e^{j ω}$ 处的取值。看到这里我快被气死了，为什么你不能统一符号呢？要么把 $z$ 写成 $e^{s}$ ，要么把 $e^{s}$ 写成 $z$ ，这很难吗？

直到今天我意识到这很可能是一种记号上的设计，为的就是区分傅立叶变换是离散还是连续形式。比如把离散信号和连续信号分别记成 $x [n]$ 和 $x (t)$ ，这里用 $n$ 表示时间是离散域， $t$ 表示时间是连续域。类似的， $X (e^{j ω})$ 表示离散变换， $X (j ω)$ 表示连续变换。

事实上这种记号在信号处理中比比皆是，比如用于区分信号是时域表示还是频域表示的 $x (t)$ 和 $X (f)$ ，这里 $t$ 表示时域， $f$ 表示频域，相应的其值也要做区分，即 $x$ 是时域上幅值， $X$ 是频域上的幅值。而这种记号往往还是冗余的，仍是上面那个例子，其中方括号表示变量是离散域，圆括号表示变量是连续域。

即便我们完全可以从上下文中判断出所谈论的对象究竟是连续还是离散，是时域表示还是频域表示，这些记号还是试图把这些信息包含于本身。这就不由得令我想到印欧语中复杂的性数配合。作为一个中国人，我以前总以为性数配合这种东西是画蛇添足，是一种意义上的冗余，还增加了记忆难度。但联想到信号处理的这个例子，这个疑难似乎变得可以解释了。

信号处理的文献，或者更一般的使用数学记号的文献，总是数学符号与文字的混排。而数学符号旨在指代一大段复杂的、用自然语言和其他数学符号表述的高度抽象的定义文本（相当于一个伪装成词的句子 sentence-in-word），因此这种混排的文本，其信息密度本就不是均匀的，在遇到数学记号时会骤然升高，为了降低这种信息密度（即单位符号承载的信息量），我们试图用各种冗余的符号来承载其所指代的那些信息，并尽可能的把关键的、易混淆的概念在记号上作出明确区分。在信号处理中，关键的易混淆概念就是时频域、原信号与其傅立叶变换、连续与离散，因此这些概念被相应的注册进符号层面。

这里就涉及到一个辩证法：我们使用记号就是为了某种简洁性，但这种简洁性是有界限的，为了不总是从上下文中去消除歧义，这种记号又需要一定的繁冗性。

那么同理我们有理由怀疑，为了降低信息密度，或者是为了冗余编码以提高鲁棒性，印欧语发展出庞杂的性数配合机制并遗存至今。但我们要注意的是，自然语言层面的性数配合确实不再必要，这是因为由于现代生活的复杂性：

我们总是需要一段很长的上下文而非简单的词来阐述意义，因而我们总是需要回到上下文，而非仅仅凭单词的性数配合来提取关键信息。
现代通讯方式使得人们不再需要这种语言层面的冗余编码来对抗噪声。
通过现代教育的训练，自然语言的信息密度对于一般人而言已经足够低而不需要额外进行冗余编码以辅助认知。

总之这种语言内部的屈折不再承担具体的语用功能，而仅仅是一种语法上的遗迹罢了。当然，这种屈折机制还可能由于以下原因存在：

某种语言没有发展出可以使用上下文来推测性数的结构，或者说其意素和词素没有很好的解耦。
这种屈折不再作为性数标志而使用，而是作为纯粹的区分性，用于某些学科对某些概念不得不进行某种区分的构词法而使用，例如哲学上的 Sein 和 Dasein， symbole 和 La Symbolique。